Klim Kostinia pidettiin 2010-20 -lukujen vaihteessa yhtenä Venäjän jääkiekon tulevista suurnimistä.
St. Louis Blues varasi Kostinin ykköskierroksella numerolla 31 vuonna 2017, mutta varauksensa jälkeen hänestä tuli hetkeksi suurempi lupaus kuin varausnumero antoi ymmärtää.
Kunnon läpimurtoa Kostin ei ole NHL:ssä kuitenkaan tehnyt. Viime kaudella hän pelasi San Jose Sharksissa 31 ottelua tehopistein 1+6=7.
Tällä hetkellä Kostinilla ei ole NHL:ään sopimusta. Hänen huhutaan palaavan KHL:ään, jossa viimeksi pelasi 2020 Avangard Omskissa, kun NHL-kauden alku viivästyi koronapandemian takia.
Kostin itse vakuuttelee Sport-Expressin haastattelussa, että tavoitteet ovat yhä NHL:ssä. Hän ilmoittaa, että haluaisi tehdä paluun Edmonton Oilersiin, jossa viihtyi parhaiten.
Kostin vahvistaa käyneensä myös keskusteluja Los Angeles Kingsin kanssa. Mutta sopimusta hän ei ole sieltä saanut ainakaan toistaiseksi.